前两天，在中学同学群中，一位外派在日本工作的同学吐槽了一下自己娃的数学教育，说日本奥数只用“面积法”来算鸡兔同笼。因为我们班在中小学阶段几乎都混过奥数，看到鸡兔同笼就跟小浣熊干脆面一样亲切。所以久违地在群里活跃了一下。鸡兔同笼最早是我国南北朝时期的《孙子算经》中出现，后来传入日本后，在江户时期被改成名字更“吉祥”的“鹤龟同笼”（鶴亀算つるかめざん）。不过他们对于这道题的主流教学解法，的确和我们有比较大的差别。对我们来说，教鸡兔同笼的解题，主流是延续了《孙子算经》中的方法：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？
答曰：雉二十三，兔一十二。
术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命 之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。
又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。
古文中的“除”就是减，翻译一下就是：把头数35放在上面，把脚数94减半得47放在下面。上下相减，47减去35得到12（兔）。再用35减去12得23（鸡）。这种解题思路是通过假设来进行代入排除：假设都是鸡，对比看会有多少的差别，然后反推出会有多少只另外一种动物。直到我们现在小学阶段的相关数学教育，教鸡兔同笼的时候，主要也是用这个思路。而日本的“标答流程”和我们有很大的区别。日本在数学教学上一直更喜欢使用图形方法。比如前面提到的用面积法解鹤龟同笼（鶴亀算）。比如鹤和龟一共20头，56脚的题目，就会变成下面两个高分别为2和4的长方形。然后算出左上角缺少的部分的面积，就能算出左下角长方形的底边长，也就是鹤有多少只。通过这样的方法来解题。这其实也就是我之前文章中提到过的数形结合的学习方式。那我们常用的代入排除，和日本“奥数班”喜欢的面积法，哪种更好呢？对于小学阶段的学生来说，对于抽象的数学逻辑思维相对比较陌生，而对具象的视觉图形更熟悉，也更容易接受。相对来说，面积法这种建立模型意识的“视觉引导工具”更加友好，同时也可以帮助部分抽象思维较弱的学生先进入状态，再向更抽象的代数模型引导过渡。面积法是用宽 × 高的图形来理解差值概念与数量关系，比较适合帮助小学生理解“差值推理”。这种数形结合的思路用直观、美观的图形来激发一些孩子的数学兴趣。也能用画、剪、拼等实际操纵，让孩子减少对于抽象数学的焦虑和反感。把抽象的“问题”转化为“图形模型”，也是早期数学建模训练的启蒙。所以国内的小学数学教育，近年来也更加注重数形结合的方式。比如要求在教学中降低公式依赖，不过早依赖代数、不要求设未知数，让学生掌握列方程之外的问题结构思维与解法。我同学吐槽的，就是日本的一些小学辅导机构过于热衷甚至单一使用面积法这样的教学模式。
面积法这类的方法是从具象到抽象的数学教育中很有效的过渡方法。但它的意义在于“过度”：如果只是单纯将这类方法当做“解题技巧”，而不是逐步向理解和运用“假设-排除-验证”的逻辑思维去过渡，那就反而失去意义了。
“假设-排除-验证”，会是孩子未来在数学，甚至更广阔学习、生活中，都能用到的思维方式。而面积法在面临更复杂的问题时，就可能束手无策了。
比如我们把题目变为“三只动物”：有蜘蛛、蜻蜓、蝉共16只，总共有102条腿和20对翅膀。那蜘蛛、蜻蜓、蝉各有多少只？
面对这种更复杂的“同笼”，掌握思维方式的孩子有可能想出答案，只会面积法就不成了。
而我这些年看国内的一些数学教辅，或者“数学思维课程”的产品时，也有发现类似的情况。比如在讲图形思维的时候，只是将它也变成了刷题技巧，甚至硬性要求，而非学习“模型构建”的入门，引导学习背后的思维逻辑方式。这样的“数形结合”虽然看上去比较高级，但也不能发挥出应有的效果了。
来源：一小时爸爸
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